Вторник, 27 февраля, 2024
ДомойНаукаКогда круги сталкиваются: студенты разгадывают математическую тайну

Когда круги сталкиваются: студенты разгадывают математическую тайну

- Advertisement -

Саммер Хааг и Клайд Кертцер, участвовавшие в CU Boulder REU, опровергли давнюю локально-глобальную гипотезу в теории чисел, исследуя упаковки аполлоновых кругов. Их исследования высветили творческие и неизведанные аспекты математических исследований. Фото: SciTechDaily.com

Саммер Хааг и Клайд Кертцер попали в главные новости в мире математики, работая над летним исследовательским проектом.

Перед окончанием 2022-2023 учебного года аспирант Саммер Хааг и младший Клайд Кертцер искали возможности для летних исследований по математике, своему предмету обучения.

Их внимание привлек REU (Исследовательский опыт для студентов) с Кэтрин (Кейт) Стэндж, доцентом кафедры математики Калифорнийского университета в Боулдере, и Джеймсом Рикардсом, постдокторантом того же факультета, поскольку там рассматривалась тема. которым они оба постоянно интересовались: теорией чисел.

«Еще на бакалавриате я знал, что теория чисел — это то, чем я хочу заниматься», — говорит Хааг. «Когда я увидел, что Кейт и Джеймс занимаются теорией чисел REU, я сказал: «Вот это!» Я хочу его!»

«Здесь, в Калифорнийском университете, я прослушал несколько курсов по теории чисел, которые мне очень понравились», — говорит Кертцер, который отозвал свои заявления в другие REU, когда его приняли в тот, где учились Штанге и Рикардс. «Я был очень взволнован».

Аспирант Саммер Хааг и младший Клайд Кертцер приняли участие в семинаре REU по теории чисел в Калифорнийском университете в Боулдере под руководством Кэтрин Стэндж и Джеймса Рикардса. Их исследование аполлоновых упаковок кругов бросило вызов широко распространенной локально-глобальной гипотезе в математике. Кредит: CU Боулдер

REU будет исследовать раздел теории чисел, называемый упаковками аполлонических кругов, которые представляют собой фракталы или бесконечные узоры, состоящие из бесконечных кругов, просто соприкасающихся друг с другом, но никогда не перекрывающихся.

Ни Хааг, ни Кертцер не имели большого опыта работы с круговыми упаковками.

«Раньше я видел квадратичные формы и инверсии Мёбиуса, но никогда не видел, чтобы они имели отношение к упаковкам кругов», — говорит Хааг. «Мне было очень интересно узнать об этом».

«Я пошел в библиотеку, взял книгу, единственную книгу, которую мне удалось найти на круглых упаковках, и начал читать», — говорит Кертцер.

Студенты Калифорнийского университета в Боулдере Клайд Кертцер и Саммер Хааг опровергли давнюю гипотезу в математической теории чисел во время своего летнего исследовательского опыта. Кредит: CU Боулдер

Комната для изучения

В течение первых нескольких недель работы REU Штанге и Рикардс давали Хаагу и Кертцеру исходную информацию, необходимую им для проекта, и учили их, как использовать код, разработанный Рикардсом, для сбора данных об упаковках кругов. После этого они предоставили Хаагу и Кертцеру пространство для исследования.

«Мы задумали интересный проект, который даст студентам возможность испытать исследования, собирая данные, выявляя закономерности и доказывая их», — говорит Штанге. «У нас не было четкой цели».

«У нас был длинный список возможных проблем, которые нужно было изучить», — добавляет Рикардс. «Настоящей конечной цели не было видно».

Однако ситуация изменилась, когда исследования Хаага и Кертцера позволили получить данные, которые поставили под сомнение известную математическую гипотезу.

Локально-глобальная гипотеза, широко принятая на протяжении большей части двух десятилетий, предсказывает кривизну кругов внутри круговой упаковки. Согласно этой гипотезе, если исследователь знает кривизну нескольких кругов в упаковке («локальные» круги), он может затем предсказать кривизну кругов в остальной части упаковки («глобальные» круги).

Снова и снова доказательства, казалось, поддерживали локально-глобальную гипотезу до такой степени, что почти все, кто с ней знаком, считали, что это правда.

«Несмотря на то, что это не было доказано, это почти гарантированно было правдой», — говорит Хааг.

Ученые Калифорнийского университета в Боулдере Кэтрин Стэндж (слева) и Джеймс Рикардс исследуют теорию чисел, один из аспектов которой включает в себя аполлонические упаковки кругов. Кредит: CU Боулдер

Два числа вместо одного

Но затем, вводя числа в код Рикардса, Хааг и Кертцер решили сделать то, чего еще никто не делал. Вместо того, чтобы вводить в код одно число, они ввели два и посмотрели на получившиеся упаковки.

Вот тогда все стало интересно. Числа, которые, согласно локально-глобальной гипотезе, должны были появиться вместе в одних и тех же упаковках, этого не сделали.

Штанге сравнивает ситуацию с тюрьмой. Будто числа, которых должны были запереть, выкопали туннель, когда никто не видел, и сбежали.

Хааг, Кертцер, Штанге и Рикардс знали, какое значение эти данные означают для локально-глобальной гипотезы, поэтому немедленной реакцией Рикардса была перепроверка своего кода на наличие ошибок. Но их не было. Код был правильным. С другой стороны, локально-глобальная гипотеза не подтвердилась.

В течение следующих нескольких дней Штанге и Рикардс собрали доказательства своих открытий, работая так быстро, так лихорадочно и так точно, что Хааг и Кертцер не могли не вдохновиться.

«Это было действительно впечатляюще», — говорит Кертцер. «Это тот момент, когда мы хотим быть математиками».

Все четверо опубликовали статью на сервере препринтов. arXiv с названием столь же недвусмысленным, сколь и откровенным его содержание: «Локально-глобальная гипотеза об упаковках аполлоновых кругов неверна».

Неплохо для летнего исследовательского проекта.

Кэтрин Стэндж в партнерстве с выпускником технических наук Дэниелом Мартином создала образец головоломки-пазла Аполлонического круга, вырезанной лазером из дерева. Кредит: CU Боулдер

Игривая сторона математики

Но что Хааг и Кертцер нашли даже более приятным, чем опровержение важной гипотезы, так это личное знакомство с творческой стороной математических исследований. Это были не все формулы и правила. Это была интуиция, исследование, игра.

«Некоторые советы, которые дала мне Кейт, запомнятся мне на какое-то время», — вспоминает Кертцер. «Если вы не уверены, просто следуйте своему носу».

Математические исследования, объясняет Штанге, «часто напоминают исследование джунглей. Вы не уверены, что найдете, но творческий подход проявляется в том, чтобы решить, какой лист перевернуть, какой путь выбрать, на какие вопросы вы пытаетесь ответить и как вы будете на них отвечать. Некоторые из глубочайших открытий в математике происходят благодаря творческим прыжкам, соединяющим, казалось бы, не связанные между собой идеи».

К счастью для Хаага и Кертцера, здесь есть еще много джунглей, которые можно исследовать.

«Некоторые из моих учеников настолько запутались, что я хочу провести исследование по математике», — говорит Хааг. «Они такие: «Разве математика не закончена?» Сколько вопросов может быть нерешено по математике?»

Хааг улыбается, когда она отвечает: «Так много».

Исходная ссылка

- Advertisement -

Популярное по теме